统考高数模拟考 (UEC Advanced Math Mock Exam)

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统考高数模拟考 (UEC Advanced Math Mock Exam) — sample Advanced Mathematics questions with answers

1. Question 1

   若函数 $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$，则其反函数 $f^{-1}(x)$ 为？

   • A$f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}$
   • B$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{x-2}$
   • C$f^{-1}(x)=\frac{2x-3}{x+1}$
   • D$f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-1}$

   Answer: A. $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$

   令 $y=\frac{2x+3}{x-1}$，解出 $x=\frac{y+3}{y-2}$，故 $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}$。

2. Question 2

   求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ 之值。

   • A$0$
   • B$1/4$
   • C$1/2$
   • D$1$

   Answer: C. $1/2$

   利用洛必达法则或泰勒级数展开 $\cos x\approx 1-x^2/2$，可知极限为 $1/2$。

3. Question 3

   已知向量 $\vec{a}=(1,2,-1)$ 和 $\vec{b}=(2,-1,3)$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 等于？

   • A$-3$
   • B$0$
   • C$3$
   • D$6$

   Answer: A. $-3$

   数量积为 $1(2)+2(-1)+(-1)(3)=2-2-3=-3$。

4. Question 4

   设复数 $z=1+i$，求 $z^4$ 的值。

   • A$4$
   • B$4i$
   • C$-4$
   • D$-4i$

   Answer: C. $-4$

   $z^2=(1+i{)}^2=2i$，则 $z^4=(2i{)}^2=-4$。

5. Question 5

   定积分 ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx$ 的值为？

   • A$0$
   • B$1$
   • C$-1$
   • D$\pi /2$

   Answer: B. $1$

   原函数为 $-\cos x$，代入上下限得 $-(\cos (\pi /2)-\cos (0))=-(0-1)=1$。